Una paràbola és un gràfic d'una funció quadràtica i té una corba suau en forma de "U". Les paràboles també són simètriques, cosa que significa que es poden plegar al llarg d'una línia de manera que tots els punts d'un costat de la línia de plegament coincideixin amb els punts corresponents a l'altre costat de la línia de plegament. La línia de plegament, anomenada eix de simetria, és la línia vertical que travessa el verex. Qualsevol punt de la paràbola és equidistant d’un punt fix (el focus) i d’una línia recta fixa (la directriu). Per representar gràficament una paràbola, heu de trobar el seu vèrtex i diversos punts a banda i banda del vèrtex per marcar el recorregut que fan els punts.
Passos
Part 1 de 2: dibuixar una paràbola
Pas 1. Comprendre les parts d’una paràbola
És possible que se us proporcioni certa informació abans de començar i conèixer la terminologia us ajudarà a evitar els passos innecessaris. Aquí teniu les parts de la paràbola que haureu de conèixer:
- La concentració. Un punt fix a l'interior de la paràbola que s'utilitza per a la definició formal de la corba.
- La directriu. Una línia recta fixa. La paràbola és el lloc (sèrie) de punts en què qualsevol punt es troba a la mateixa distància del focus i de la directriu. (Vegeu l’esquema anterior.)
- L’eix de simetria. Es tracta d’una línia recta que passa pel punt d’inflexió ("vèrtex") de la paràbola i que és equidistant dels punts corresponents dels dos braços de la paràbola.
- El vèrtex. El punt on l’eix de simetria creua la paràbola s’anomena vèrtex de la paràbola. Si la paràbola s’obre cap amunt o cap a la dreta, el vèrtex és un punt mínim de la corba. Si s’obre cap avall o cap a l’esquerra, el vèrtex és un punt màxim.
Pas 2. Conegueu l’equació d’una paràbola
L’equació general d’una paràbola és y = ax2+ bx + c. També es pot escriure en la forma encara més general y = a (x - h) ² + k, però ens centrarem aquí en la primera forma de l'equació.
- Si el coeficient a de l'equació és positiu, la paràbola s'obre cap amunt (en una paràbola orientada verticalment), com la lletra "U", i el seu vèrtex és un punt mínim. Si la a és negativa, la paràbola s’obre cap avall i té un vèrtex en el seu punt màxim. Si teniu problemes per recordar-ho, penseu-ho així: una equació amb un valor positiu sembla un somriure; una equació amb un valor negatiu sembla un cella arrufada.
- Suposem que teniu l’equació següent: y = 2x2 -1. Aquesta paràbola tindrà la forma d'una "U" perquè el valor a (2) és positiu.
- Si l’equació té un terme y al quadrat en lloc d’un terme x al quadrat, la paràbola s’orientarà horitzontalment i s’obrirà cap als costats, a la dreta o a l’esquerra, com una "C" o una "C." cap enrere. Per exemple, la paràbola y2 = x + 3 s'obre a la dreta, com una "C."
Pas 3. Cerqueu l'eix de simetria
Recordeu que l’eix de simetria és la línia recta que passa pel punt d’inflexió (vèrtex) de la paràbola. En el cas d’una paràbola vertical (oberta cap amunt o cap avall), l’eix és el mateix que la coordenada x del vèrtex, que és el valor x del punt on l’eix de simetria creua la paràbola. Per trobar l’eix de simetria, utilitzeu aquesta fórmula: x = -b / 2a.
- A l'exemple anterior (y = 2x² -1), a = 2 i b = 0. Ara podeu calcular l'eix de simetria connectant els números: x = -0 / (2) (2) = 0.
- En aquest cas, l’eix de simetria és x = 0 (que és l’eix y del pla de coordenades).
Pas 4. Cerqueu el vèrtex
Un cop conegut l’eix de simetria, podeu connectar aquest valor perquè x obtingui la coordenada y. Aquestes dues coordenades us donaran el vèrtex de la paràbola. En aquest cas, connectaríeu 0 a 2x2 -1 per obtenir la coordenada y. y = 2 x 02 -1 = 0 -1 = -1. El vèrtex és (0, -1) i la paràbola creua l’eix y a -1.
Les coordenades del vèrtex de vegades es coneixen com (h, k). En aquest cas h és 0 i k és -1. L'equació de la paràbola es pot escriure en la forma y = a (x - h) ² + k. En aquesta forma, el vèrtex és el punt (h, k) i no cal fer cap matemàtica per trobar el vèrtex més enllà d’interpretar correctament el gràfic
Pas 5. Configureu una taula amb els valors escollits de x
Creeu una taula amb valors particulars de x a la primera columna. Aquesta taula us proporcionarà les coordenades que necessiteu per representar gràficament l’equació.
- El valor mitjà de x ha de ser l'eix de simetria en el cas d'una paràbola "vertical".
- Heu d'incloure almenys dos valors per sobre i per sota del valor mitjà de x a la taula per simetria.
- En aquest exemple, poseu el valor de l'eix de simetria (x = 0) al centre de la taula.
Pas 6. Calculeu els valors de les coordenades y corresponents
Substituïu cada valor de x a l’equació de la paràbola i calculeu els valors corresponents de y. Inseriu aquests valors calculats de y a la taula. En aquest exemple, els valors de y es calculen de la manera següent:
- Per a x = -2, y es calcula com: y = (2) (-2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
- Per a x = -1, y es calcula com: y = (2) (-1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- Per a x = 0, y es calcula com: y = (2) (0)2 - 1 = 0 - 1 = -1
- Per a x = 1, y es calcula com: y = (2) (1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- Per a x = 2, y es calcula com: y = (2) (2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
Pas 7. Introduïu els valors calculats de y a la taula
Ara que heu trobat almenys cinc parells de coordenades per a la paràbola, gairebé esteu a punt per representar-la. Segons el vostre treball, ara teniu els punts següents: (-2, 7), (-1, 1), (0, -1), (1, 1), (2, 7). Recordeu que la paràbola es reflecteix (simètricament) respecte a l’eix de simetria. Això significa que les coordenades y dels punts directament a través de l'eix de simetria entre si seran les mateixes. Les coordenades y de les coordenades x -2 i +2 són 7; les coordenades y de les coordenades x -1 i +1 són ambdues 1, etc.
Pas 8. Representa els punts de la taula al pla de coordenades
Cada fila de la taula forma un parell de coordenades (x, y) al pla de coordenades. Dibuixeu gràficament tots els punts mitjançant les coordenades donades a la taula.
- L'eix x és horitzontal; l'eix y és vertical.
- Els números positius de l'eix y estan per sobre del punt (0, 0) i els números negatius de l'eix y estan per sota del punt (0, 0).
- Els números positius de l’eix x es troben a la dreta del punt (0, 0) i els números negatius de l’eix x es troben a l’esquerra del punt (0, 0).
Pas 9. Connecteu els punts
Per representar gràficament la paràbola, connecteu els punts representats al pas anterior. El gràfic d’aquest exemple tindrà l’aspecte d’una U. Connecteu els punts mitjançant línies lleugerament corbes (en lloc de rectes). Això crearà la imatge més precisa de la paràbola (almenys lleugerament corbada en tota la seva longitud). Als dos extrems de la paràbola podeu dibuixar fletxes que apuntin cap al vèrtex si voleu. Això indicarà que la paràbola continua indefinidament.
Part 2 de 2: Canviar el gràfic d'una paràbola
Si voleu una drecera per canviar una paràbola sense haver de tornar a trobar el vèrtex i tornar a traçar diversos punts, haureu d’entendre com llegir l’equació d’una paràbola i aprendre a canviar-la verticalment o horitzontalment. Comenceu amb la paràbola bàsica: y = x2. Té el vèrtex a (0, 0) i s’obre cap amunt. Els punts que hi apareixen inclouen (-1, 1), (1, 1), (-2, 4) i (2, 4). Podeu canviar una paràbola en funció de la seva equació.
Pas 1. Canvieu una paràbola cap amunt
Considereu l’equació y = x2 +1. Això fa canviar la paràbola original 1 unitat cap amunt. El vèrtex ara és (0, 1) en lloc de (0, 0). Conservarà la forma exacta de la paràbola original, però cada coordenada y es desplaçarà cap amunt 1 unitat. Per tant, en lloc de (-1, 1) i (1, 1), representem (-1, 2) i (1, 2).
Pas 2. Canvieu una paràbola cap avall
Pren l’equació y = x2 -1. Desplaçem la paràbola original cap avall 1 unitat, de manera que el vèrtex sigui ara (0, -1) en lloc de (0, 0). Encara tindrà la mateixa forma que la paràbola original, però cada coordenada y es desplaçarà cap avall 1 unitat. Per tant, en lloc de (-1, 1) i (1, 1), per exemple, representem (-1, 0) i (1, 0).
Pas 3. Desplaceu una paràbola cap a l'esquerra
Considereu l’equació y = (x + 1)2. Això fa canviar la paràbola original d’una unitat cap a l’esquerra. El vèrtex ara és (-1, 0) en lloc de (0, 0). Conserva la forma de la paràbola original, però cada coordenada x es desplaça cap a la unitat esquerra. En lloc de (-1, 1) i (1, 1), per exemple, representem (-2, 1) i (0, 1).
Pas 4. Canvieu una paràbola cap a la dreta
Considereu l’equació y = (x - 1)2. Aquesta és la paràbola original desplaçada d’una unitat a la dreta. El vèrtex ara és (1, 0) en lloc de (0, 0). Conserva la forma de la paràbola original, però cada coordenada x es desplaçarà cap a la unitat correcta. En lloc de (-1, 1) i (1, 1), per exemple, representem (0, 1) i (2, 1).
