Una junta apol·liana és un tipus d’imatge fractal que es forma a partir d’una col·lecció de cercles cada vegada més reduïts continguts dins d’un sol cercle gran. Cada cercle de la junta apol·liana és tangent als cercles adjacents, és a dir, els cercles de la junta apol·liana fan contacte en punts infinitament petits. Anomenat pel matemàtic grec Apol·loni de Perga, aquest tipus de fractal es pot dibuixar (a mà o per ordinador) amb un grau raonable de complexitat, formant una bella i impactant imatge. Consulteu el pas 1 següent per començar.
Passos
Primera part de 2: entendre els conceptes clau
Per quedar perfectament clar, si simplement us interessa dibuixar una junta apol·liana, no és essencial investigar els principis matemàtics darrere del fractal. Tot i això, si voleu una comprensió més profunda de les juntes apol·lianes, és important entendre les definicions de diversos conceptes que utilitzarem a l’hora de parlar-ne.
Pas 1. Definiu termes clau
A les instruccions següents s’utilitzen els termes següents:
- Apollonian Gasket: Un dels diversos noms d'un tipus de fractal compost per una sèrie de cercles imbricats dins d'un cercle gran i tangents a tots els altres propers. També s’anomenen "Cercles de Soddy" o "Cercles de petons".
- Radi d’un cercle: la distància des del punt central d’un cercle fins a la seva vora. Normalment s’assigna la variable r.
- Curvatura d'un cercle: la inversa positiva o negativa del radi, o ± 1 / r. La curvatura és positiva quan es tracta de la curvatura exterior del cercle i negativa per a la curvatura interna.
- Tangent: terme aplicat a línies, plans i formes que es creuen en un punt infinitament petit. A Apollonian Gaskets, es refereix al fet que cada cercle toca cada cercle proper en un sol punt. Tingueu en compte que no hi ha cap intersecció: les formes tangents no se superposen.
Pas 2. Comprendre el teorema de Descartes
El teorema de Descartes és una fórmula útil per calcular les mides dels cercles d’una junta apol·liana. Si definim les curvatures (1 / r) de tres cercles com a, b i c, respectivament, el teorema afirma que la curvatura del cercle (o cercles) tangent a tots tres, que definirem com a d, és: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)).
Per als nostres propòsits, generalment només utilitzarem la resposta que obtindrem posant un signe més davant de l'arrel quadrada (és a dir, … + 2 (sqrt (…)). De moment, n'hi ha prou amb saber que la resta la forma de l’equació té els seus usos en altres tasques relacionades
Part 2 de 2: Construcció de la junta apol·liana
Les juntes apol·líniques adopten la forma de bells dispositius fractals de cercles encongits. Matemàticament, les juntes apol·lonianes tenen una complexitat infinita, però, ja sigui que utilitzeu un programa de dibuix per ordinador o eines tradicionals de dibuix, finalment arribareu a un punt en què és impossible dibuixar cercles més petits. Tingueu en compte que, com més dibuixeu els vostres cercles, més podreu encabir a la vostra junta.
Pas 1. Reuneu les vostres eines de dibuix digital o analògic
En els passos següents, farem la nostra pròpia junta Apollonian. És possible dibuixar juntes Apollonian a mà o a l'ordinador. En qualsevol cas, voldreu dibuixar cercles perfectament rodons. Això és bastant important. Com que tots els cercles d'una junta apol·liona són perfectament tangents als cercles que hi ha al costat, els cercles fins i tot lleugerament deformats poden "llançar" el vostre producte final.
- Si dibuixeu la junta en un ordinador, necessitareu un programa que us permeti dibuixar fàcilment cercles d’un radi fix des d’un punt central. Es pot utilitzar Gfig, una extensió de dibuix vectorial per al programa gratuït d’edició d’imatges GIMP, així com una gran varietat d’altres programes de dibuix (vegeu la secció de materials per obtenir enllaços rellevants). Probablement també necessiteu una aplicació de calculadora i un document de processador de textos o un bloc de notes físic per prendre notes sobre les curvatures i els radis.
- Per dibuixar la junta a mà, necessitareu una calculadora (científica o gràfica suggerida), un llapis, una brúixola, una regla (preferiblement una escala amb marques mil·limètriques, paper mil·limetrat i un bloc de notes per prendre notes.
Pas 2. Comenceu amb un cercle gran
La vostra primera tasca és fàcil: només cal dibuixar un cercle gran i perfectament rodó. Com més gran sigui el cercle, més complexa pot ser la vostra junta, així que intenteu fer un cercle tan gran com ho permeti el vostre paper o tan gran com pugueu veure fàcilment en una finestra del programa de dibuix.
Pas 3. Creeu un cercle més petit dins de l'original, tangent a un costat
A continuació, dibuixa un altre cercle dins del primer que sigui més petit que l'original, però que sigui força gran. La mida exacta del segon cercle depèn de vosaltres; no hi ha una mida correcta. No obstant això, per als nostres propòsits, dibuixem el nostre segon cercle de manera que arribi exactament a la meitat del nostre gran cercle exterior. En altres paraules, dibuixem el nostre segon cercle de manera que el seu punt central sigui el punt mitjà del radi del cercle gran.
Recordeu que a Apollonian Gaskets, tots els cercles que es toquen són tangents entre si. Si utilitzeu una brúixola per dibuixar els cercles a mà, recreeu aquest efecte posant la punta nítida de la brúixola al punt mig del radi del cercle exterior gran, ajustant el llapis de manera que només toqui la vora del cercle gran, després dibuixa el teu cercle interior més petit
Pas 4. Dibuixeu un cercle idèntic "davant" del cercle interior més petit
A continuació, dibuixem un altre cercle enfront del primer. Aquest cercle hauria de ser tangent tant al cercle exterior gran com al cercle interior més petit, cosa que significa que els dos cercles interiors tocaran al punt mitjà exacte del cercle exterior gran.
Pas 5. Apliqueu el teorema de Descartes per trobar la mida dels vostres cercles següents
Deixem de dibuixar un moment. Ara que tenim tres cercles a la nostra junta, podem utilitzar el teorema de Descartes per trobar el radi del cercle següent que dibuixarem. Recordeu que el teorema de Descartes és d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)), on a, b i c són les curvatures dels vostres cercles tangents i d és la curvatura del cercle tangent a les tres. Per tant, per trobar el radi del nostre cercle següent, anem a trobar la curvatura de cadascun dels cercles que tenim fins ara de manera que puguem trobar la curvatura del cercle següent, i després convertir-lo al seu radi.
-
Definim el radi del nostre cercle exterior com
Pas 1.. Com que els altres cercles es troben dins d’aquest, estem tractant la seva curvatura interior (en lloc de la seva curvatura exterior) i, en conseqüència, sabem que la seva curvatura és negativa. - 1 / r = -1/1 = -1. La curvatura del cercle gran és - 1.
-
Els radis dels cercles més petits són la meitat de grans que els del cercle gran, o, dit d’una altra manera, 1/2. Com que aquests cercles es toquen entre ells i el cercle gran amb la seva vora exterior, ens ocupem de la seva curvatura exterior, de manera que les seves curvatures són positives. 1 / (1/2) = 2. Les curvatures dels cercles més petits són totes dues
Pas 2..
-
Ara sabem que a = -1, b = 2, i c = 2 per a la nostra equació del teorema de Descartes. Resolvem per d:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. La curvatura del nostre cercle següent és
Pas 3.. Com que 3 = 1 / r, el radi del nostre cercle següent és 1/3.
Pas 6. Crea el següent conjunt de cercles
Utilitzeu el valor de radi que acabeu de trobar per dibuixar els vostres dos cercles següents. Recordeu que seran tangents als cercles les curvatures dels quals heu utilitzat per a, b i c al teorema de Descartes. En altres paraules, seran tangents tant al cercle original com al segon. Perquè aquests cercles siguin tangents als tres cercles, els haureu de dibuixar als espais oberts de la part superior i inferior de l’àrea dins del cercle original gran.
Recordeu que els radis d’aquests cercles seran iguals a 1/3. Mesura 1/3 enrere des de la vora del cercle exterior i dibuixa el cercle nou. Ha de ser tangent als tres cercles circumdants
Pas 7. Continueu d'aquesta manera per continuar afegint cercles
Com que són fractals, les juntes apol·línies són infinitament complexes. Això vol dir que podeu afegir cercles cada vegada més petits al contingut del vostre cor. Només us limitarà la precisió de les vostres eines (o, si utilitzeu un ordinador, la capacitat del vostre programa de dibuix per "ampliar"). Cada cercle, per petit que sigui, hauria de ser tangent a tres cercles més. Per dibuixar cada cercle posterior a la seva junta, connecteu les teoremes dels tres cercles als quals serà tangent el teorema de Descartes. A continuació, utilitzeu la vostra resposta (que serà el radi del vostre nou cercle) per dibuixar el vostre nou cercle amb precisió.
- Tingueu en compte que la junta que hem escollit per dibuixar és simètrica, de manera que el radi d’un cercle és el mateix que el cercle corresponent “que hi ha al davant”. Tanmateix, sàpiga que no totes les juntes apol·lianes són simètriques.
-
Abordem un exemple més. Diguem que, després de dibuixar el nostre darrer conjunt de cercles, ara volem dibuixar els cercles tangents al nostre tercer conjunt, al nostre segon conjunt i al nostre cercle exterior gran. Les curvatures d'aquests cercles són 3, 2 i -1, respectivament. Connectem aquests números al teorema de Descartes, establint a = -1, b = 2 i c = 3:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. Tenim dues respostes! Tanmateix, perquè sabem que el nostre nou cercle serà més petit que qualsevol dels cercles als quals és tangent, només una curvatura de
Pas 6. (i per tant un radi de 1/6) té sentit.
- La nostra altra resposta, 2, es refereix en realitat al hipotètic cercle de l’altra banda del punt tangent del nostre segon i tercer cercle. Aquest cercle és tangent a aquests dos cercles i al gran cercle exterior, però entrecreuaria els cercles que ja hem dibuixat, de manera que podem ignorar-lo.
Pas 8. Per a un repte, proveu de fer una junta apol·liana no simètrica canviant la mida del vostre segon cercle
Totes les juntes apol·lonianes comencen de la mateixa manera, amb un gran cercle exterior que actua com la vora del fractal. Tanmateix, no hi ha cap raó perquè el vostre segon cercle hagi de tenir necessàriament la meitat del radi del primer; només hem decidit fer-ho més amunt perquè és senzill i fàcil d’entendre. Per diversió, proveu d'iniciar una junta nova amb un segon cercle d'una mida diferent; això us conduirà a noves i interessants vies d'exploració.
