Quan es representa gràficament, les equacions quadràtiques de la forma destral2 + bx + c o bé a (x - h)2 + k donar una corba suau en forma d’U o una corba inversa en forma d’U anomenada paràbola. Representar gràficament una equació de segon grau és trobar el vèrtex, la direcció i, sovint, les seves interceptacions x i y. En els casos d’equacions de segon grau relativament simples, també pot ser suficient per connectar un interval de x valors i traçar una corba en funció dels punts resultants. Consulteu el pas 1 següent per començar.
Passos
Pas 1. Determineu quina forma d’equació de segon grau teniu
L'equació quadràtica es pot escriure en tres formes diferents: la forma estàndard, la forma de vèrtex i la forma quadràtica. Podeu utilitzar qualsevol forma per representar gràficament una equació de segon grau; el procés de gràfic de cadascun és lleugerament diferent. Si esteu fent un problema amb els deures, normalment el rebreu en una d’aquestes dues formes; és a dir, no podreu triar, de manera que és millor entendre-les totes dues. Les dues formes d’equació de segon grau són:
-
Formulari estàndard.
En aquesta forma, l’equació de segon grau s’escriu com: f (x) = ax2 + bx + c on a, b i c són nombres reals i a no és igual a zero.
Per exemple, dues equacions quadràtiques de forma estàndard són f (x) = x2 + 2x + 1 i f (x) = 9x2 + 10x -8.
-
Forma de vèrtex.
En aquesta forma, l’equació de segon grau s’escriu com: f (x) = a (x - h)2 + k on a, h i k són nombres reals i a no és igual a zero. La forma de vèrtex s’anomena així perquè h i k us donen directament el vèrtex (punt central) de la paràbola en el punt (h, k).
Dues equacions de vèrtex són f (x) = 9 (x - 4)2 + 18 i -3 (x - 5)2 + 1
- Per representar gràficament qualsevol d’aquest tipus d’equacions, primer hem de trobar el vèrtex de la paràbola, que és el punt central (h, k) a la “punta” de la corba. Les coordenades del vèrtex en forma estàndard vénen donades per: h = -b / 2a i k = f (h), mentre que en forma de vèrtex, h i k s’especifiquen a l’equació.
Pas 2. Definiu les variables
Per poder resoldre un problema quadràtic, normalment cal definir les variables a, b i c (o a, h i k). Un problema d'àlgebra mitjà us proporcionarà una equació de segon grau amb les variables emplenades, generalment en forma estàndard, però de vegades en forma de vèrtex.
- Per exemple, per a l'equació de forma estàndard f (x) = 2x2 + 16x + 39, tenim a = 2, b = 16 i c = 39.
- Per al vèrtex, formeu l'equació f (x) = 4 (x - 5)2 + 12, tenim a = 4, h = 5 i k = 12.
Pas 3. Calculeu h
A les equacions de forma de vèrtex, el vostre valor per a h ja es dóna, però a les equacions de forma estàndard s’ha de calcular. Recordeu que, per a les equacions de forma estàndard, h = -b / 2a.
- En el nostre exemple de forma estàndard (f (x) = 2x2 + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Resolt, trobem que h = - 4.
- En el nostre exemple de forma de vèrtex (f (x) = 4 (x - 5)2 + 12), sabem h = 5 sense fer matemàtiques.
Pas 4. Calculeu k
Com passa amb h, k ja és coneguda en les equacions de vèrtex. Per a les equacions de forma estàndard, recordeu que k = f (h). En altres paraules, podeu trobar k substituint totes les instàncies de x de la vostra equació pel valor que acabeu de trobar per a h.
-
En el nostre exemple de forma estàndard, hem determinat que h = -4. Per trobar k, resolem la nostra equació amb el nostre valor per h substituint x:
- k = 2 (-4)2 + 16(-4) + 39.
- k = 2 (16) - 64 + 39.
-
k = 32 - 64 + 39 =
Pas 7.
- En el nostre exemple de forma de vèrtex, de nou, coneixem el valor de k (que és 12) sense haver de fer cap matemàtica.
Pas 5. Traceu el vèrtex
El vèrtex de la paràbola serà el punt (h, k) - h especifica la coordenada x, mentre que k especifica la coordenada y. El vèrtex és el punt central de la paràbola, ja sigui la part inferior d'una "U" o la part superior d'una "U" cap per avall. Conèixer el vèrtex és una part essencial del gràfic d’una paràbola precisa; sovint, en les tasques escolars, especificar el vèrtex serà una part obligatòria d’una pregunta.
- En el nostre exemple de forma estàndard, el nostre vèrtex serà a (-4, 7). Per tant, la nostra paràbola arribarà a un màxim de 4 espais a l’esquerra de 0 i 7 espais superiors (0, 0). Hauríem de representar aquest punt al nostre gràfic, assegurant-nos d’etiquetar les coordenades.
- En el nostre exemple de forma de vèrtex, el nostre vèrtex és a (5, 12). Hauríem de representar un punt 5 espais a la dreta i 12 espais a sobre (0, 0).
Pas 6. Dibuixeu l'eix de la paràbola (opcional)
L’eix de simetria d’una paràbola és la línia que travessa el seu centre que la divideix perfectament per la meitat. A través d’aquest eix, el costat esquerre de la paràbola reflectirà el costat dret. Per a quadràtics de la forma ax2 + bx + c o a (x - h)2 + k, l'eix és una línia paral·lela a l'eix y (és a dir, perfectament vertical) i que passa pel vèrtex.
En el cas del nostre exemple de forma estàndard, l’eix és una línia paral·lela a l’eix y i que passa pel punt (-4, 7). Tot i que no forma part de la paràbola en sí, marcar lleugerament aquesta línia al gràfic us pot ajudar a veure com la paràbola es corba simètricament
Pas 7. Cerqueu la direcció d'obertura
Després d’haver esbrinat el vèrtex i l’eix de la paràbola, a continuació, hem de saber si la paràbola s’obre cap amunt o cap avall. Per sort, això és fàcil. Si "a" és positiu, la paràbola s'obrirà cap amunt, mentre que si "a" és negativa, la paràbola s'obrirà cap avall (és a dir, es capgirarà).
- Per al nostre exemple de formulari estàndard (f (x) = 2x2 + 16x + 39), sabem que tenim una paràbola que s’obre cap amunt perquè, a la nostra equació, a = 2 (positiu).
- Per al nostre exemple de forma de vèrtex (f (x) = 4 (x - 5)2 + 12), sabem que també tenim una paràbola que s’obre cap amunt perquè a = 4 (positiu).
Pas 8. Si cal, cerqueu i dibuixi les interceptacions de x
Sovint, en les tasques escolars, se us demanarà que trobeu les interceptacions x d'una paràbola (que són un o dos punts en què la paràbola es troba amb l'eix x). Fins i tot si no els trobeu, aquests dos punts poden ser inestimables per dibuixar una paràbola precisa. Tot i això, no totes les paràboles tenen interceptacions en x. Si la paràbola té un vèrtex s'obre cap amunt i té un vèrtex sobre l'eix x o si s'obre cap avall i té un vèrtex per sota de l'eix x, no tindrà cap intercepció de x. En cas contrari, resoleu les vostres interceptacions x amb un dels mètodes següents:
-
Simplement fixeu f (x) = 0 i resoleu l'equació. Aquest mètode pot funcionar per a equacions quadràtiques simples, especialment en forma de vèrtex, però resultarà extremadament difícil per a altres més complicades. Vegeu un exemple a continuació
- f (x) = 4 (x - 12)2 - 4
- 0 = 4 (x - 12)2 - 4
- 4 = 4 (x - 12)2
- 1 = (x - 12)2
- SqRt (1) = (x - 12)
- +/- 1 = x -12. x = 11 i 13 són les interseccions x de la paràbola.
-
Tingueu en compte la vostra equació. Algunes equacions a la destral2 La forma + bx + c es pot incloure fàcilment en la forma (dx + e) (fx + g), on dx × fx = ax2, (dx × g + fx × e) = bx, i e × g = c. En aquest cas, les vostres interceptacions x són els valors de x que fan que qualsevol dels termes entre parèntesis = 0. Per exemple:
- x2 + 2x + 1
- = (x + 1) (x + 1)
- En aquest cas, la vostra única intercepció x és -1, ja que establir x igual a -1 farà que qualsevol dels termes factoritzats entre parèntesis sigui igual a 0.
-
Utilitzeu la fórmula quadràtica. Si no podeu resoldre fàcilment les vostres interceptacions x ni calcular la vostra equació, utilitzeu una equació especial anomenada fórmula quadràtica dissenyada amb aquest propòsit. Si encara no ho és, incorporeu l'equació a la forma de destral2 + bx + c, a continuació, connecteu a, b i c a la fórmula x = (-b +/- SqRt (b2 - 4ac)) / 2a. Tingueu en compte que sovint us donen dues respostes per a x, que està bé; això significa que la paràbola té dues interceptacions de x. Vegeu un exemple a continuació:
- -5x2 + 1x + 10 es connecta a la fórmula quadràtica de la següent manera:
- x = (-1 +/- SqRt (12 - 4(-5)(10)))/2(-5)
- x = (-1 +/- SqRt (1 + 200)) / - 10
- x = (-1 +/- SqRt (201)) / - 10
- x = (-1 +/- 14.18) / - 10
- x = (13,18 / -10) i (-15,18 / -10). Les interseccions x de la paràbola són aproximadament x = - 1.318 i 1.518
- El nostre exemple de formulari estàndard anterior, 2x2 + 16x + 39 es connecta a la fórmula quadràtica de la següent manera:
- x = (-16 +/- SqRt (162 - 4(2)(39)))/2(2)
- x = (-16 +/- SqRt (256 - 312)) / 4
- x = (-16 +/- SqRt (-56) / - 10
- Com que trobar l’arrel quadrada d’un nombre negatiu és impossible, ho sabem cap intercepció de x existeixen per a aquesta paràbola en particular.
Pas 9. Si cal, cerqueu i dibuixeu la intercepció i
Tot i que sovint no és necessari trobar l’intercepció y d’una equació (el punt en què la paràbola passa a través de l’eix y), potser se us demanarà, sobretot si esteu a l’escola. Aquest procés és bastant senzill: només heu d’establir x = 0 i, a continuació, resoleu l’equació per f (x) o y, que us proporciona el valor y en què la paràbola passa a través de l’eix y. A diferència de les interceptacions x, les paràboles estàndard només poden tenir una intercepció i. Nota: per a equacions de forma estàndard, la intercepció y és a y = c.
-
Per exemple, coneixem la nostra equació de segon grau 2x2 + 16x + 39 té una intercepció y en y = 39, però també es pot trobar de la següent manera:
- f (x) = 2x2 + 16x + 39
- f (x) = 2 (0)2 + 16(0) + 39
-
f (x) = 39. La intersecció y de la paràbola és a y = 39.
Com es va assenyalar anteriorment, la intercepció y és a y = c.
-
El nostre vèrtex forma l’equació 4 (x - 5)2 + 12 té una intercepció y que es pot trobar de la següent manera:
- f (x) = 4 (x - 5)2 + 12
- f (x) = 4 (0 - 5)2 + 12
- f (x) = 4 (-5)2 + 12
- f (x) = 4 (25) + 12
-
f (x) = 112. La intersecció y de la paràbola és a y = 112.
Pas 10. Si cal, traqueu punts addicionals i, a continuació, feu un gràfic
Ara hauríeu de tenir un vèrtex, una direcció, una intercepció de x i, possiblement, una intercepció de y per a la vostra equació. En aquest moment, podeu intentar dibuixar la paràbola utilitzant els punts que teniu com a pauta o podeu trobar més punts per "omplir" la paràbola de manera que la corba que dibuixeu sigui més precisa. La forma més senzilla de fer-ho és simplement connectar uns quants x valors a banda i banda del vèrtex i, a continuació, traçar aquests punts utilitzant els valors y que obtingueu. Sovint, els professors requereixen que obtingueu un nombre determinat de punts abans de dibuixar la paràbola.
-
Revisem l’equació x2 + 2x + 1. Ja sabem que la seva única intercepció x és x = -1. Com que només toca la intersecció x en un punt, podem deduir que el seu vèrtex és la seva intersecció x, el que significa que el seu vèrtex és (-1, 0). De fet, només tenim un punt per a aquesta paràbola, ni tan sols suficient per dibuixar una bona paràbola. En trobem uns quants més per assegurar-nos que dibuixem un gràfic precís.
- Cerquem els valors y dels següents valors x: 0, 1, -2 i -3.
- Per a 0: f (x) = (0)2 + 2 (0) + 1 = 1. El nostre punt és (0, 1).
-
Per a 1: f (x) = (1)2 + 2 (1) + 1 = 4. El nostre punt és (1, 4).
- Per a -2: f (x) = (-2)2 + 2 (-2) + 1 = 1. El nostre punt és (-2, 1).
-
Per a -3: f (x) = (-3)2 + 2 (-3) + 1 = 4. El nostre punt és (-3, 4).
- Representa aquests punts al gràfic i dibuixa la teva corba en forma d’U. Tingueu en compte que la paràbola és perfectament simètrica: quan els punts d'un costat de la paràbola es troben en nombres enters, normalment podeu estalviar-vos una mica simplement reflectint un punt determinat a través de l'eix de simetria de la paràbola per trobar el punt corresponent a l'altre costat. de la paràbola.
Vídeo: mitjançant aquest servei, es pot compartir informació amb YouTube
Consells
- Tingueu en compte que a f (x) = ax2 + bx + c, si b o c és igual a zero, aquests números desapareixen. Per exemple, 12x2 + 0x + 6 es converteix en 12x2 + 6 perquè 0x és 0.
- Arrodoneu números o utilitzeu fraccions tal com us ho indica el vostre professor d’àlgebra. Això us ajudarà a representar correctament les vostres equacions de segon grau.
